Дисперсия в покере — как определить свой реальный винрейт в 6-макс Холдем

Лучше всего покер работает при правильном соотношении удачи и мастерства. © Мейсон Мальмут. В определенный момент каждому опытному игроку приходится задавать себе примерно такие вопросы:

• Слабые результаты моей игры обусловлены недостаточным уровнем мастерства или являются следствием полосы неудач?
• Достаточно ли надежную дистанцию на текущем лимите я отыграл в плюс, чтобы решиться на переход уровнем выше?
• Могу я ли рассчитывать на покер как на дополнительный источник дохода в ближайший год?
• Насколько продолжительным может оказаться очередной даунсвинг?
• Какую часть банкролла я рискую потерять в этом падении?
• Как снизить влияние удачи на результаты моей игры?

В предыдущих статьях мы затрагивали темы влияния комиссий и селекта на долгосрочные результаты игры. Следуя всем рекомендациям подбора оппонентов и по возможности снижая рейковую нагрузку, вам наверняка удастся поднять значения своего винрейта на несколько bb/100 даже без серьезного обучения.

Забегая вперед скажу, что все расчеты можно будет сделать онлайн в калькуляторе дисперсии, который вы найдете по ссылке ниже. 

Все необходимые для профессионального игрока в покер калькуляторы доступные для расчетов онлайн.

Покерные калькуляторыбесплатно онлайн

Однако график ваших побед продолжит ощутимо колебаться, и, к сожалению, иногда это будет происходить на весьма ощутимых дистанциях. Чтобы стойко переживать полосы неудач и не терять голову в апстриках, необходимо углубиться в понимание влияния дисперсии на долгосрочные результаты. Следующие несколько статей мы собираемся посвятить изучению этой проблемы с позиции математики, анализа больших данных и психологии.

Фундаментальные понятия

Прежде чем мы приступим к анализу громоздких таблиц, полезно будет разобраться с некоторыми базовыми математическими понятиями, с помощью которых они были созданы.

Стандартное отклонение

Давным-давно, еще в первую версию Holdem Manager был добавлен показатель Std. dev. 100 (Standard Deviation / Стандартное отклонение на 100 рук) измеряемый в единицах bb/100. Теперь он присутствует в том или ином виде во всех популярных трекерах, включая последнюю версию Hand2note 4. Также он используется в онлайн калькуляторе дисперсии. Но мало кто понимает, как в действительности работает этот стат и как его можно применять с максимальной пользой для прогнозирования своих долгосрочных покерных выигрышей.

Разберем простой математический пример.

Скажем, у нас есть два набора из 5 яблок. В первом диаметр яблок составляет 6,7,13,5,10 см, а во втором - 7,8,8,9,9 см. Средняя ширина яблок из двух примеров составляет 8,2 см. несмотря на то, что ширина каждого отдельного яблока в каждом наборе сильно различается. В первом наборе результаты разнообразны и разбросаны, а во втором, наоборот, средние результаты очень близки.

Чтобы его вычислить, надо извлечь квадратный корень из средней суммы квадратов каждого значения в выборке. В примере с яблоками мы должны поочередно возвести в квадрат диаметр каждого яблока, суммировать их, затем разделить на количество яблок (пять) и извлечь корень из получившегося значения.

σ(1) = √(6²+7²+13²+5²+10²)/5 = √(36+49+169+25+100)/5 = √75,8 = 8,71

σ(2) = √(7²+7²+8²+8²+9²)/5 = √(49+49+64+64+81)/5 = √61,4 = 7,83

Мы получили не такую большую разницу в вычислениях между двумя группами. тем не менее позже вы увидите, как даже малые колебания стандартного отклонения могут приводить к значительным колебаниям винрейта на дистанции.

Для расчета стандартного отклонения винрейта трекеры применяют ту же формулу, только вместо диаметра яблок в примере выступает разница между средним и реальным выигрышем в каждой руке. Программы имеют возможность анализировать результаты каждой раздачи, что привело к появлению еще одного стата, исчисляемого в больших блайндах вместо bb/100. Показатель Std. dev (bbs) из Holdem manager 3 в 10 раз больше значения Std. dev bb/100 из Holdem manager 1. В новейшем Hand2note 4 значение стандартного отклонения расположено в графе dispersion.

Нормально распределение

Во многих сферах, которые изучает математическая статистика, данные могут быть разбросаны по-разному. Но, если вы нанесете на график частоту всех винрейтов (то, как часто выпадает любой из них на длинной дистанции) они образуют примерно такую форму:

Изображение 1. Распределение Гаусса - Лапласа

Это называется «гауссовой кривой» или «нормальным распределением». Есть некоторые вещи, которые следует отметить в отношении этого графика:

• Ваш средний винрейт находится в самом центре кривой (на пике).
• Чем дальше вы продвигаетесь от центра кривой, тем ниже вероятность того, что такой винрейт произойдет.
• Если ваш винрейт колеблется незначительно, то форма кривой будет иметь более вытянутую форму. И наоборот, если значения стандартного отклонения особенно высоки, она будет принимать более пологие формы.
• Вероятность того, что на определенной дистанции ваш винрейт окажется в пределах одного стандартного отклонения от вашего винрейта, составляет 68.26%.
• В 95. 44% ваш винрейт окажется в пределах двух стандартных отклонений.
• В 99. 72% ваш винрейт окажется в пределах трех стандартных отклонений.

Доверительные интервалы

Классическими «уровнями достоверности» используемыми в различных статистических исследованиях, являются 90%, 95% и 99%. На практике, с помощью специальной Za/2 функции мы можем задать любую степень достоверности.

Изображение 2. Доверительный интервал для калькулятора дисперсии primedope

В известном онлайн калькуляторе дисперсии, помимо всего прочего, используются 1σ и 2σ значения. На скриншоте 2 изображен «доверительный интервал» значений для винрейта 4bb на дистанции 50630 рук со стандартным отклонением 90bb/100. Т.е. с точностью 70% (На самом деле 68,26%) мы можем констатировать, что на данном отрезке рук этот винрейт будет находится в пределах +\- 4bb/100 и не выйдет за диапазон от 0 до +8/100 bb

Средние арифметические и медианные винрейты

Наконец, я хочу вас спросить, приходилось ли вам когда либо удивляться публикуемым значениям средних зарплат в вашем городе? Если да, то вам будет также интересно узнать еще про один используемый нами статистический показатель.

Вместо того чтобы обращать внимание на средние арифметические показатели, например, зарплат, гораздо разумнее ориентироваться на медианные значения. Благо, вычислить их гораздо проще, чем предыдущие показатели.

Вспомним пример с яблоками. В ряду диаметров 6, 7, 13, 5, 10 см медианным будет считаться диаметр 7 см, а средний - 8, 2 см. А во втором ряду (7, 8, 8, 9, 9 см) медианным диаметром будет 8см.

Также часто в наших расчетах мы не используем средние арифметические значения. Для повышения точности мы корректируем их с учетом доли объема рук, сыгранных каждым игроком в выборке.

Например, из двух регуляров первый отыграл 300К рук с винрейтом 3бб/100, а второй - 100к рук с винрейтом 5бб/100. Среднее арифметическое винрейтов будет равно (3+5)/2=4 бб/100. Вместо этого мы используем такую формулу: (3*300+5*100)/(300+100)= 1400/400=3.5бб/100.

Исходные данные

Для нашего анализа мы извлекали данные из майнинга за последние полтора года с лимитов NLSH 10, 20, 50, 100, 200 в румах 888 и ipoker. В выборку попали только регуляры с отыгранной дистанцией больше 100K рук, итоговым винрейтом больше 1 bb/100 и положительным винрейтом по EV.

Также мы проанализировали графики для того чтобы исключить из выборки игроков, которые проходили обучение, и резко повысили свою результативность на крайнем отрезке дистанции. Всего получилось 461 регуляра, отыгравших в сумме 86 миллионов рук. См. изображение 3.

Изображение 3. График винрейта игрока, значительно повысившего свой скилл на последнем участке дистанции.

На диаграмме 4 синими столбцами изображено количество игроков, а красной линией - общее количество рук, разыгранных ими с определенным стандартным отклонением. Для составления итоговых таблиц мы приняли решение использовать результаты участников, отклонения которых попали в диапазон 6,3 - 10,7 bbs или 63-107 bb/100.

Изображение 4. Количество игроков и объем сыгранных ими рук с определенным стандартным отклонением.

Изучаем таблицы винрейтов

Итак, сейчас вашему вниманию вам будут представлены таблицы с расчетными данными, необходимыми для того, чтобы с установить количество рук, которые вы обязаны отыграть с безубыточным винрейтом. Проще говоря, убедиться в том, что вы с большОй вероятностью являйтесь плюсовым игроком на дистанции.

Некоторые предельные значения для низких винрейтов могут вызвать самый настоящий шок. Пусть это будет будет отрезвляющим напоминанием о том, какому риску вы подвергайте свой банкролл и психологическую устойчивость, участвуя в тяжелых играх с низким математическим ожиданием, вроде быстрого покера. Бегло изучите представленные цифры, а потом вернемся к обсуждению полученных результатов.

Таблица для стандартного отклонения 110bb/100

Таблица для стандартного отклонения 100bb/100

Таблица для стандартного отклонения 90bb/100

Таблица для стандартного отклонения 80bb/100

Таблица для стандартного отклонения 70bb/100

Расшифровка и анализ таблиц

• В первой строке указано стандартное отклонение для каждой таблицы, используемое для математических расчетов. Ради удобства мы оперируем значением в "Std. dev. 100". Хотя, как и говорилось выше, в современных трекерах обычно рассчитывается стата "Std. dev". Это значение просто в 10 раз меньше, чем размер Std. dev. 100.
• Вторая строка показывает диапазоны реальных отклонений, среднее арифметическое которых формирует число из первой строки. Мы разделили всех регуляров таким образом, чтобы в каждую группу последовательно вошли обладатели отклонений до +\- 7bb100 от целевого значения. Таким образом, нам пришлось исключить из выборки всего трех игроков с очень низкой дисперсией. В остальным из 458 оставшихся участников получилось создать 5 непрерывных групп со средними стандартными отклонениями 70, 80, 90, 100 и 110 bb/100. При чем каждый из этих игроков может одновременно находится только в одной из этих групп.
• В третьей строке указано общее количество игроков в группе. ¾ регуляров на рассматриваемых лимитах играют довольно спокойно, формируя значения стандартных отклонений от 80 до 90 bb/100.
• В четвертой строке отмечен средний арифметический винрейт всех этих игроков, рассчитываемый с поправкой на общее количество разыгранных ими рук. Ожидаемо, что агрессивная и дисперсионная игра принесла существенно больший доход игрокам из первой таблицы по сравнению с регулярами со средним отклонением около 70. А вот в остальных трех списках ситуация уже не такая однозначная.
• В пятой строке расположены значения медианных винрейтов, и, как видите, они во всех случаях ниже средних арифметических показателей. А это, в свою очередь, говорит о том, что большинство регуляров не являются обладателями особо выдающихся профитов. Здесь наблюдается определенное неравенство, в котором средние арифметические значения неадекватно увеличиваются под влиянием результатов нескольких очень сильных игроков, зачастую находящихся в апстрике. Обратите внимание на почти идентичные медианные значения для первой и пятой таблицы.
• Шестая строка показывает полный диапазон винрейтов игроков из каждой выборки. Смотрите, каким очевидным здесь становится факт, что за небольшую прибавку в винрейте приходится рисковать очень серьезными его колебаниями. Всего лишь нескольким умелым игрокам из первой и третьей таблицы удалось реализовать это преимущество и добиться максимальных результатов.
• В седьмой строке содержится информация о количестве стандартных отклонений, в рамках которых колеблется винрейт. Правило «68-95-99» или «правило одной, двух и трех сигм» мы объясняли выше.
• В восьмой строке вы увидите соответствующую процентную вероятность для колебаний винрейта (уровень доверия).
• Девятая строка указывает на то, с каким шансом регуляр, отыгравший определенную дистанцию, может считать себя стабильно плюсующим игроком.
• И в десятой строке вычислена разность этого числа от 100% Т. е. вероятность сыграть в ноль или в минус при определяемых таблицей условиях.

Количество рук во всех столбцах округлено до десятков.

Доверительный интервал на графике винрейта

Более наглядно содержание таблиц можно оценить с помощью графического примера.

Изображение 5. Упрощенная схема распределения винрейтов на дистанции

Линия 3 изображает средний винрейт. По оси X происходит отсчет сыгранных рук. По оси Y идет отсчет винрейтов. Между линиями 1 и 4 расположено 100% возможных значений винрейтов игрока. Линия Z ограничивает дистанцию, в пределах которой отрезок B находится целиком в минусовой зоне. Между линией 2 и осью X будет находится 68% значений винрейтов (одно стандартное отклонение).

Соответственно, между линиями 1 и 2 и осью X и линией 4 будет находится оставшиеся A+B=32% возможных маловероятных винрейтов. Таким образом рег, отыгравший Z рук, будет находиться в точке, где его вероятность сыграть в ноль или минус будет равна 32%/2 = 16%. Это зона окрашена на графике в красный цвет.

Предсказываем результаты

Задача 1

Представим, что вы решили попробовать свои силы на новом лимите и отыграли 100K рук в довольно жестких составах Nl200 с винрейтом 4bb100. Вы играли довольно лузово, сопротивляясь давлению агрессивных игроков, и ваше стандартное отклонение (Std. dev) возросло до 11,0 bbs или 110bb/100. Сколько еще рук надо отыграть с текущим винрейтом, чтобы с вероятностью 95% или выше утверждать, что мы м дальше продолжим бить эту игру хотя бы в небольшой плюс? (Т.е. не является ли наш винрейт просто результатом апстрика.)

Воспользуемся таблицей для стандартного отклонения 110 bb100. Мы справились с задачей только на уровне одного стандартного отклонения - отыграв 75630 рук в 84% случаев, мы можем утверждать, что играем а плюс. А вот для того, чтобы наша вероятность сыграть в минус или ноль была меньше двух процентов, нам потребуется отыграть уже целых 300K рук. Т. е. еще 200к рук с довольно высокой дисперсией. Учитывая количество игры на NL200 на это могут уйти месяцы!

Теперь посмотрим, сколько рук нам надо было бы всего отыграть в спокойном тайтовом стиле с отклонением 80 бб/100. Смотрим третий столбец в четвертой таблице - 160000 рук. т.е. еще 60К, начиная с текущей точки - это в 3 раза меньше предыдущего отрезка (!!!) Представьте, что вы сможете убрать своей жизни несколько месяцев неопределенности и стресса, только используя более тайтовый стиль игры. Все эти расчеты опять возвращают нас к важности селекта. И речь идет не о том, чтобы, играя в безлимитный холдем, намерено принимать низкодисперсионные но невыгодные с математической позиции решения в каждой крупной раздаче. Конечно нет! Но то, о чем вы можете позаботиться заранее, так это выбор столов с наименьшим содержанием слишком агрессивных регуляров и достаточным количеством слабых фишей.

Задача 2

Мы отыграли 90K рук за месяц на лимите NL 20 с винрейтом 9bb/100 и стандартным отклонением 90. Круто! Исходя из данных в таблице, мы почти на 100% уверены, что, по крайней мере, не сыграем следующий месяц в ноль! Звучит не очень .ободряющие, не правда ли? Давайте подумаем, что мы еще можем извлечь из этих данных.

Переведите свой взгляд на третий столбец в третьей таблице. Напротив винрейта 6bb/100 здесь расположено точно такое же количество рук! А в четвертом столбце значение 90K находится напротив винрейта 3bb/100. На самом деле данные из других столбцов можно использовать для определения шанса удержания вашего текущего винрейта в определенных пределах. Для этого надо вычесть из значения винрейта в первой колонке значения второго и третьего винрейта, и вы узнайте уровень доверия, с которым ваш винрейт не опустится ниже искомого значения. Ниже 3бб/100 - 98% и не ниже 6бб/100 - 84%.

Таким образом, если это все таки произойдет, можно будет задуматься о следующих проблемах:

• Вы попали в очень серьезный даунсвинг (маловероятно - 98% или 84% случаев)
• Условия игры стали жестче
• Покер рум мог увеличить комиссионные сборы
• Качество вашей игры упало по психологическим или другим причинам.

Выводы

• Std. dev. (Стандартное отклонение) - статистический показатель, определяющий меру отклонения вашего винрейта от среднего.
• Чем выше значение Std. dev. тем более долгие и глубокие даунсвинги будут происходить на продолжительных участках дистанции.
• 68% значений ваших винрейтов на дистанции будут находится в диапазоне одного стандартного отклонения, 95% - в диапазоне двух стандартных отклонений и 99% - в диапазоне 3 стандартных отклонений.
• Медианный винрейт является более обьективным параметром оценки винрейта группы игроков чем среднее арифметическое значение.
• Стандартное отклонения большинства выигрывающих регуляров на коротких столах безлимитного холдема находятся в пределах от 70 до 110 bb/100
• Чтобы с высокой точностью определить значение реального винрейта, необходимо отыграть огромную дистанцию.
• Селект и низкий рейк значительно уменьшает эти требования. 

P.S. Если вы хотите проверить надежность своего банкролла, узнать разброс своего винрейта и рассчитать остальные показатели в автоматическом режиме, воспользуйтесь калькуляторами дисперсии в новом разделе нашего сайта.

Все необходимые для профессионального игрока в покер калькуляторы доступные для расчетов онлайн.

Покерные калькуляторыбесплатно онлайн